Stime alla cazzo

La capacità di fare stime alla cazzo, più elegantemente note come stime alla Fermi (anche se nella corretta accezione del termine si tratta di qualcosa di un po’ diverso), è fondamentale per un fisico. Ma anche per un ingegnere. Ma in generale per chiunque debba prima o poi avere a che fare con i numeri nella vita. Ossia per tutti.

Purtroppo è una pratica che non viene quasi mai insegnata a scuola. Non solo: è una pratica che anzi farebbe inorridire gli studenti più “bravi” in Matematica (leggasi quelli più pignoli: perché la pignoleria è quasi l’unica cosa a cui viene data importanza a scuola, e se cresci a formule e pignoleria è facile finire nel giro).
Con questo non voglio assolutamente dire che la precisione sia sopravvalutata: se una differenza dello 0,023% produce degli effetti visibili e non trascurabili, per Giove, bisognerà tenerne conto, a un certo punto delle fasi di sviluppo (qualunque cosa si stia sviluppando)!
Il problema è che, prima ancora di fare il calcolo esatto, bisogna almeno avere una vaga idea di dove si andrà a parare: perché puoi anche fare conti con formule esatte e complete che occupano mezza pagina portandoti dietro settordici cifre significative; ma se poi lungo la strada ti perdi un fattore 2\pi (e con formule grosse è facilissimo!) ottieni un risultato sbagliato di un ordine di grandezza: e la cosa grave è che, dopo aver macinato numeri per mezz’ora, di aver fatto un errore talmente marchiano non te ne accorgi manco per sogno, perché non hai nemmeno idea di quale doveva essere il risultato, circa.
Nella vita reale, non c’è la pagina con le soluzioni a fine capitolo, e accorgersi di aver basato lo sviluppo di qualcosa su un numero sbagliato di un ordine di grandezza non è un’esperienza piacevole: significa anni, soldi e risorse buttati nel cesso (oltre a una clamorosa figura di merda).engineering-fail-640x499

Quindi, torniamo al punto: cosa sono le stime alla Fermi? In un certo senso sono l’equivalente della prova del 9; solo che si fanno prima del calcolo, e non dopo, di modo che, prima ancora di arrivare al risultato, sai già (più o meno) cosa aspettarti: e se, alla fine del calcolo, trovi qualcosa di palesemente sbagliato, la stima che avevi fatto all’inizio ti può anche aiutare a capire velocemente dove sta l’errore.

Ma l’altra grande utilità delle stime alla Fermi è che permettono di farsi un’idea della grandezza in gioco in pochissimo tempo, usando solo i dati essenziali, e spesso senza neanche bisogno di carta e penna. Addirittura Fermi era in grado di fare le sue stime senza nemmeno disporre di tutti i dati essenziali: quelli che gli mancavano, se li ricavava a partire da altro, o facendo ipotesi ragionevoli, o una commistione delle due.
L’idea per questo post mi è venuta in seguito a un commento in una discussione partita dalla domanda: di quanto diminuisce la forza gravitazionale terrestre a (diciamo) 1000 km di altitudine? 1) Diventa quasi nulla? 2) Diminuisce visibilmente? 3) Diminuisce impercettibilmente? In 30 secondi, senza carta né penna, ho sparato che diminuisce intorno al 30%: quindi siamo inequivocabilmente nel secondo caso.
A un’analisi più approfondita e mettendo i numeri giusti dentro le formule esatte, si ottiene che la diminuzione è invece intorno al 24% circa: ma sempre nel secondo caso siamo! E per sapere in che caso si cascava, bastava un conto mentale di 30 secondi (e non è che io sia uno particolarmente veloce, eh), senza dover scomodare carta e penna (o un calcolatore) e, soprattutto, senza avere a portata di mano una fonte con i dati rilevanti alla terza o quarta cifra significativa (nessuno ricorda a memoria tutti i numeri di interesse fisico, come ad esempio le masse dei pianeti; e i professori che lo pretendono a scuola sono, diciamolo chiaramente, completi imbecilli che non fanno altro che creare frustrazione e odio verso materie meravigliose: fortunatamente, a scuola non ho avuto solo professori imbecilli che guardavano solo a ste cazzate, altrimenti temo che non avrei scelto Fisica).

Ora. L’arte (sì, è anche un’arte) delle stime alla Fermi purtroppo non si impara in cinque minuti: perché prima ancora di una procedura da seguire, essa è un modo di pensare. E quindi, come tutte le arti: quale modo migliore per insegnarla, se non tramite un esempio?
Prenderò in esame proprio il caso in questione: prima mostrerò i passaggi mentali, senza spiegazioni, proprio a mostrare come ho fatto a trovare una stima in 30 secondi (e, ripeto, non sono un genio, ci ho messo anche troppo); poi, spiegherò ogni passaggio.

Procediamo!

  1. Domanda: di quanto diminuisce la forza gravitazionale a h=1000 km di altitudine, rispetto a quella al livello del mare?
  2. La forza gravitazionale decresce come l’inverso del quadrato della distanza.
  3. Il raggio della Terra è circa R=6500 km.
  4. Quindi, proporzione: la forza gravitazionale al livello del mare sta all’inverso di R² come quella richiesta (quella a 1000 km di altitudine) sta all’inverso di (R+h)². Ossia:
    F_0 : \frac{1}{R^2} = F_x : \frac{1}{{\left(R+h\right)}^2}
  5. Risolvendo la proporzione e dividendo numeratore e denominatore per R² si trova che:
    F_x = F_0 \cdot \frac{1}{{\left(1+h/R\right)}^2}
  6. Espandendo il quadrato al denominatore e troncando al primo ordine non banale, si trova che il rapporto è:
    \frac{1}{1 + 2\cdot\left(h/R\right)}
  7. 2·h/R=2000/6500 è poco meno di un terzo (che è 0,33…): facciamo quindi 0,3 che è anche più comodo.
  8. \frac{1}{1+ 0,3} è circa 1 – 0,3 ossia 0,7 ossia il 30% in meno di 1.
  9. Quindi la forza gravitazionale a 1000 km di altitudine è il 30% in meno di quella al livello del mare.
  10. Fine.

Ho fatto delle approssimazioni brutali (la peggiore al punto 8) e ciononostante il risultato che ho tirato fuori non era neanche male, confrontato a quanto sarebbe dovuto venire. E l’ho fatto a mente, in 30 secondi, e non mi ritengo particolarmente brillante. E dopo la stima brutale, ci si può prendere tutto il tempo che si vuole per fare un conto più sofisticato. Dopo.
Come ci sono riuscito? Per i miei colleghi universitari sarà banale; ma per qualcuno appena uscito da scuola, come potevo essere io alcuni anni fa, un po’ meno. Veniamo alla spiegazione, punto per punto.

  1. Domanda: di quanto diminuisce la forza gravitazionale a h=1000 km di altitudine, rispetto a quella al livello del mare?
  2. La forza gravitazionale decresce come l’inverso del quadrato della distanza.
    Questo, si sa. Non lo ricordi? Nessun problema: vediamo perché deve essere così.
    Ricorda allora che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa dipende solo dalla massa totale contenuta all’interno e non dalla forma o dimensione della superficie. Non ricordi nemmeno questo? Bene: fai finta che la Terra dica ai gravi che forza devono sentire mandandogli contro “palline di attrazione gravitazionale”; queste palline si conservano: quindi se vai a vedere quante di queste attraversano una superficie sferica di raggio X (centrata intorno alla Terra), e quante una superficie di raggio 2X, o 3X o quel che ti pare, il numero dovrà essere lo stesso.
    La forza del campo gravitazionale è proporzionale a quante palline arrivano per unità di superficie: d’altro canto, a un grave non glie ne frega niente di quante palline sono arrivate in totale dappertutto, ma gli interessa solo quante ne arrivano da lui. Quindi: se campo è il rapporto tra numero di palline (totali, che si conservano) e superficie (totale, che dipende dalla distanza, ossia dal raggio della superficie sferica che consideri); e se la superficie scala come il quadrato del raggio; allora il campo deve scalare come l’inverso del quadrato del raggio. Se proprio volevamo partire dai principi primi senza ricordare assolutamente niente, ecco fatto. E una volta compreso questo ragionamento, ricordare diventa automatico.
  3. Il raggio della Terra è circa R=6500 km.
    Anche questo si ricorda. Non lo ricordi? Nessun problema: ricorda allora che l’equatore misura 40 mila km (è più facile da ricordare) e dividi per 2\pi . Non ricordi neanche questo? Bene: ricorda allora che un quarto di circonferenza terrestre misura proprio 10 mila km. Proprio 10 mila km per motivi storici, conoscendo i quali è ancora più facile ricordare. L’unità di misura “metro”, infatti, fu inizialmente definita proprio così: dieci milioni di metri (10⁷) fanno un quarto di circonferenza terrestre o, ancora meglio, la distanza tra un polo e l’equatore. (poi il metro s’è ridefinito, perché “un quarto di circonferenza terrestre” fa schifo come definizione: la Terra non è una sfera perfetta e sto quarto di circonferenza dipende da dove lo vai a misurare; ma l’idea rimane quella). E se hai paura di confonderti tra mille chilometri e 10 mila chilometri, ricorda che mille chilometri è solo la lunghezza dell’Italia: troppo piccola. Questi sono solo alcuni esempi di trucchi che uno smemorato come me usa per ricordare meglio le cose: mettendole in relazione con altre cose.
  4. Quindi, proporzione: la forza gravitazionale al livello del mare sta all’inverso di R² come quella richiesta (quella a 1000 km di altitudine) sta all’inverso di (R+h)². Ossia:
    \bf{F_0 : \frac{1}{R^2} = F_x : \frac{1}{{\left(R+h\right)}^2}}
    Se la forza gravitazionale è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza… gnamo, si farà la proporzione?
    Notare che con questa proporzione ce ne stiamo sbattendo alla grande della costante di gravitazione universale e della massa della Terra: e chi cazzo se le ricorda? Ma tanto ci importa solo il rapporto con la forza (di riferimento) al livello del mare, e quindi fregacazzi di quei numeracci orrendi, che si elidono allegramente.
    Me ne sto anche fregando delle unità di misura, perché pure quelle alla fine si elidono e quindi tenerle a mente, in questo caso, era solo uno spreco di risorse mentali; ma non è quasi mai una buona idea fare conti senza unità di misura: soprattutto conti complessi, da fare con carta e penna, di cose che non s’è mai visto, è la ricetta migliore per fare atroci pasticci. Non fatelo a casa!
  5. Risolvendo la proporzione e dividendo numeratore e denominatore per R² si trova che:
    \bf{F_x = F_0 \cdot \frac{1}{{\left(1+h/R\right)}^2}}
    Ok, fare questo a mente richiede un pelo di agilità mentale, che a volte molti di noi danno per scontato. Partiamo dal risultato del punto precedente:
    F_0 : \frac{1}{R^2} = F_x : \frac{1}{{\left(R+h\right)}^2} da cui:
    F_x = F_0 \cdot \frac{R^2}{{\left(R+h\right)}^2} = F_0 \cdot \frac{{\left(R\right)}^2/{\left(R\right)}^2}{{\left(R + h\right)}^2/{\left(R\right)}^2} = F_0 \cdot \frac{{\left(R/R\right)}^2}{{\left(R/R + h/R\right)}^2} = F_0 \cdot \frac{1}{{\left(1+h/R\right)}^2}
  6. Espandendo il quadrato al denominatore e troncando al primo ordine non banale, si trova che il rapporto è:
    \bf{\frac{1}{1 + 2\cdot\left(h/R\right)}}
    Chi ricorda un minimo di Analisi, alle parole “espansione di Taylor” dovrebbe vedere una lampadina o sentire un campanello. Chi non ricorda, nessun problema: si fa a mano.
    Consideriamo solo il denominatore. È il quadrato di un binomio, ossia:
    {\left(1+x\right)}^2 = 1 + 2x + x^2 (con x intendo il rapporto h/R). Ora è importante considerare che x è piccolo: idealmente, “piccolo” significa che è molto minore di 1. Nel nostro caso non è molto minore di 1, ma ricordiamo che stiamo approssimando; e se x è piccolo, ancor più piccolo sarà x², che quindi possiamo ritenere trascurabile rispetto a 2x e a maggior ragione rispetto a 1+2x. Risultato: il denominatore è circa 1+2x.
    Allora ci si potrebbe chiedere: perché non trascurare 2x rispetto a 1? Beh, se lo si fa, si trova come risultato 1 secco, un risultato che non dipende da x: c’è evidentemente qualcosa che non va, perché la forza gravitazionale deve dipendere dalla distanza! Forse abbiamo approssimato un po’ troppo. Troncare al primo ordine non banale significa proprio che non vogliamo fare questo: significa che ci fermiamo non appena vediamo una qualche dipendenza. Non dopo, perché non vogliamo complicare troppo i conti; ma nemmeno prima, perché non vogliamo girare in tondo senza concludere niente.
  7. 2·h/R=2000/6500 è poco meno di un terzo (che è 0,33…): facciamo quindi 0,3 che è anche più comodo.
    Vabbé, queste sono approssimazioni un po’ brutali ma ovvie. La cosa bella è che la prima approssimazione, che è per eccesso, si va a compensare quasi completamente con la seconda, che è per difetto, portando a un risultato strepitosamente buono! Se con un pezzetto di mente che avanza tieni anche conto della direzione in cui approssimi, e ti accorgi che alcune approssimazioni si vanno a compensare tra loro perché di segno opposto, puoi anche essere relativamente confidente che troverai una stima più accurata del previsto.
  8. \bf{\frac{1}{1+ 0,3}} è circa 1 – 0,3 ossia 0,7 ossia il 30% in meno di 1.
    Qui si può tirare in ballo ancora una volta l’espansione di Taylor. Ma se non vogliamo farlo, nessun problema: Si fa a mano. Abbiamo:
    \frac{1}{1+x}
    Moltiplichiamo numeratore e denominatore per (1-x): svolgendo abbiamo
    \frac{1-x}{(1-x)(1+x)} = \frac{1-x}{1-x^2} (prodotto notevole al denominatore)
    Ancora una volta, x² è piccolo (più piccolo di x, di 1, etc.), e lo buttiamo dalla finestra: restiamo col solo numeratore 1-x.
  9. Quindi la forza gravitazionale a 1000 km di altitudine è il 30% in meno di quella al livello del mare.
    1-0,3 = 0,7 è il rapporto tra la forza gravitazionale richiesta (a 1000 km di altitudine) e quella al livello del mare:
    F_x = F_0 \cdot 0,7
    Ossia il 30% in meno.
  10. Fine.

Ora. Mi si potrà obiettare che ho usato parecchie formule e fatto numerosi passaggi, tirando in ballo nozioni di Algebra e Analisi per ottenere un risultato, peraltro approssimato, che si sarebbe potuto ottenere con maggior precisione macinando direttamente i numeri con carta e penna “in meno tempo” della mezz’ora che mi c’è voluta per spiegare “tutti questi passaggi complicati”. Il fatto è che questi passaggi, per chi è abituato all’arte delle stime alla Fermi, non sono affatto lunghi e complicati: sono il pane quotidiano, e si fanno giusto nei 30 secondi necessari a leggere la prima versione (quella senza le spiegazioni). Anche meno, se si è allenati.

E qui veniamo a un punto fondamentale: la padronanza della Matematica non è, come purtroppo spesso si è indotti a pensare, l’abilità di maneggiare numeri a ventordici cifre, combinata a una memoria fotografica di tutte le formule possibili e immaginabili; al contrario! La padronanza della Matematica è la comprensione profonda non solo delle formule, ma anche e soprattutto del loro significato, della loro provenienza e della loro connessione con le altre formule. Nella mia vita (e penso di parlare a nome di tutti i fisici) ho usato il fatto che \frac{1}{1+x} \simeq 1-x talmente tante volte che ormai mi viene automatico; ma, se ho bisogno di un risultato più preciso, sono anche in grado di recuperare tutto l’armamentario che ha portato a questa approssimazione (ossia lo sviluppo in serie di Taylor) per fare un’approssimazione meno brutale: riprendo i concetti di analisi e mi fermo qualche ordine dopo, a seconda di quanto preciso mi serve che sia il risultato.
E per molti problemi (la maggior parte dei problemi realmente interessanti, in verità), calcolare le soluzioni esatte è impraticabile, se non addirittura impossibile (tanto per sparare sulla Croce Rossa: basta tirare in ballo le equazioni polinomiali di grado superiore al quarto, le cui soluzioni non possono in generale essere espresse algebricamente in maniera esatta, ma solo in forma numerica; ma c’è anche di molto peggio).
Ci sarebbe anche da aggiungere che i calcoli vanno sempre confrontati a delle misure (facciamo Fisica, non metafisica!); misure che hanno inevitabilmente delle incertezze sperimentali: quindi è proprio da pazzi pretendere calcoli esatti (“esatto”, in buona sostanza, significa con infinite cifre significative) se tanto le misure con cui vanno confrontati avranno, inevitabilmente, un numero finito di cifre significative. Ma non voglio mettere altra carne al fuoco e questo post è già lungo così per aggiungere considerazioni anche su questo aspetto.

In definitiva, si è quindi quasi sempre costretti a trovare soluzioni approssimate, per un motivo o per l’altro: e quindi diventa fondamentale saper distinguere tra vari livelli di approssimazione, partendo da rapide (ma attendibili) stime grossolane per poi raffinare sempre più il risultato con calcoli via via più complessi (ma immensamente più insidiosi: è per questo che serve avere una stima grossolana come guida!)

We cannot define anything precisely. If we attempt to, we get into that paralysis of thought that comes to philosophers, who sit opposite each other, one saying to the other, “You don’t know what you are talking about!”. The second one says, “What do you mean by know? What do you mean by talking? What do you mean by you?”

— Richard P. Feynman

Questa è la più grande lezione che, purtroppo, ho appreso solo all’università: bisogna sempre cominciare dalle stime quick and dirt; perché tanto, per raffinare l’analisi, c’è sempre tempo; e raffinare un conto approssimato richiederà sempre meno tempo di quello necessario a trovare la soluzione (e individuare gli inevitabili errori) con un conto che si è voluto testardamente fare in modo “esatto” fin dall’inizio.

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